Решение задач по механике

задач по механикеВ пределах курса механики изучаются процессы, происходящие, в основном, в пределах замкнутых систем. Решение задач по механике может включать нахождение нужных параметров при равноускоренном движении, колебаниях, криволинейном движении. Широко распространены также процессы передачи энергии и нахождение значений, связанных с подобными явлениями. Рассмотрим решение пары задач, которые анализируют динамику материальной точки и поступательного движения.

Задача, использующая анализ замкнутой системы в условиях равноускоренного движения.

С помощью анализа ситуации, когда наблюдаемый опыт может быть рассмотрен как изолированная система и одновременно — используя законы равноускоренного движения, можно освоить подход с формированием двух систем координат одновременно. Условие задачи будет звучать, например, так:

Есть лифт, который движется с равномерным ускорением на всем протяжении пути. Величина его известна и составляет 2 м/с2. Внутри лифта стоят пружинные весы. На их чашке расположен предмет, масса которого известна и составляет 10 кг. Требуется определить показание весов в двух случаях движения лифта — вниз и вверх.

Решение задачи

Решение задач по механике в условиях разных систем счисления выглядит по-разному из-за количества сил и их взаимодействия, которые нужно учитывать. В общем случае происходит следующее. Тело действует на пружину весов с силой, численно равной его весу. Одновременно, в противоположную сторону направлена сила упругости, которую формирует сжатая пружина. То есть G (вес тела) = N (сила упругости), или, если учитывать направление приложения, G = -N.

Из проведенного анализа становится ясно, что требуется найти силу реакции опоры N. Решим задачу в двух разных координатах.

Инерциальная система отсчета

Если оценивать происходящее с такой позиции, можно смело сказать, что на тело, помещенное на весы, действует всего две силы — тяжести Р и упругости N.

Учтя все силы по оси Z, можно записать равенство

N-P = m*a,

где

N — сила упругости пружины, направленная вертикально вверх,

Р — сила тяжести, действующая вниз,

m — масса тела,

а — величина ускорения, с которым движется вся система.

Искомая величина легко записывается.

N = P + m*a = m*g + m*a = m*(g+a)

Чтобы преобразовать формулу, мы использовали запись силы тяжести в виде Р = m*g, где g — ускорение свободного падения.

Решение задач по механике с учетом направления движения, как в нашем случае, требует учета знака ускорения. Оно положительное при движении вверх и отрицательно, когда тело падает или спускается. Тогда ответ на вопрос задачи будет звучать так:

  1. Лифт двигается вверх, показания весов равны 10 * (9,8+2) = 118 Н.
  2. При спуске весы покажут 10 * (9,8-2) = 78 Н.

Для инерциальной системы неважна траектория, она складывает проекции действующих сил на вертикальную ось, как в нашем случае. Лифт может двигаться по наклонному пандусу. Важна только величина ускорения по вертикали.

Неинерциальная система отсчета, привязанная к внутренней части лифта

Здесь законы Ньютона, при первом взгляде, не работают. Однако, можно учесть силу инерции F = m*a, которая будет действовать в противоположную сторону от направления движения. Тогда система придет в равновесие и можно сказать, что законы Ньютона справедливы.

На тело будут действовать три силы. Тяжести Р, реакции опоры или упругости пружины N, а также инерции F. Для изолированной неинерциальной системы, описывающей лифт, можно использовать законы статики. Тогда верно равенство

Р + N + F = 0

Составив проекции на вертикальную ось и записав равенство с учетом знаков, получим, что

N — P — F = 0

Развернув выражение и преобразовав, получим конечную формулу

N = P + F = m*g + m*a = m*(g+a)

Как видим, формула аналогична полученной для инерциальной системы. Следовательно, решение правильное и результаты будут достоверны.

Задача на передачу энергии и сохранение импульса

Рассмотрим решение задач по механике, которые используют более сложное взаимодействие тел и оперируют уровнями энергии и импульса. Условие задачи:

Молот кузнечного устройства падает на поковку, стоящую на фундаменте. Масса молота известна и составляет 200 кг, скорость в момент удара — 2 м/с. Поковка обладает массой 2500 кг. Необходимо найти:

  1. Кинетическую энергию молота в момент удара.
  2. Количество энергии, которая передалась фундаменту в результате воздействия.

Считается, что удар молота по поковке абсолютно неупругий.

Решение задачи

Первый пункт требований довольно прост. Используется формула кинетической энергии, которая выглядит как

Ек = (m*v*v)/2

где

m — масса молота,

v — скорость в момент удара.

Подставив известные из условия задачи данные, которые уже в системе СИ, получим ответ. 400 Джоулей.

Чтобы рассчитать второй пункт, требуется понимание происходящего. Молот соприкасается с поковкой. Ей передается энергия. Поскольку в условии задачи сказано, что удар неупругий, принимаем факт — движение поковки и молота становится совместным и рассматривается как единая система.

Воспользуемся законом сохранения импульса, чтобы определить, с какой скоростью стала двигаться пара молот — поковка.

m1*v1+m2*v2=(m1+m2)*u

где

m1, m2 — массы молота и поковки соответственно,

v1, v2 — их скорости в момент удара,

u — результирующая скорость всей системы.

Поскольку начальная скорость поковки равна нулю, найдем результирующую скорость как

u=(m1/(m1+m2))*v1

Дальше решение задач по механике такого рода сводятся к закону сохранения энергии. Нужно понимать, что после передачи импульса и распределения скоростей в системе происходит передача кинетической энергии фундаменту. Вычисляется она просто.

T=((m1+m2)/2)*u^2 = (m1^2*v1^2)/(2*(m1+m2)) = (m1/(m1+m2)) * (m1*v1^2)/2

В результате преобразований и подстановки исходных данных, получим ясный и четкий ответ. Фундаменту передалось 29,6 Джоулей энергии.

Написать комментарий:

Ваш email не будет опубликован.