В пределах курса механики изучаются процессы, происходящие, в основном, в пределах замкнутых систем. Решение задач по механике может включать нахождение нужных параметров при равноускоренном движении, колебаниях, криволинейном движении. Широко распространены также процессы передачи энергии и нахождение значений, связанных с подобными явлениями. Рассмотрим решение пары задач, которые анализируют динамику материальной точки и поступательного движения.
Задача, использующая анализ замкнутой системы в условиях равноускоренного движения.
С помощью анализа ситуации, когда наблюдаемый опыт может быть рассмотрен как изолированная система и одновременно — используя законы равноускоренного движения, можно освоить подход с формированием двух систем координат одновременно. Условие задачи будет звучать, например, так:
Есть лифт, который движется с равномерным ускорением на всем протяжении пути. Величина его известна и составляет 2 м/с2. Внутри лифта стоят пружинные весы. На их чашке расположен предмет, масса которого известна и составляет 10 кг. Требуется определить показание весов в двух случаях движения лифта — вниз и вверх.
Решение задачи
Решение задач по механике в условиях разных систем счисления выглядит по-разному из-за количества сил и их взаимодействия, которые нужно учитывать. В общем случае происходит следующее. Тело действует на пружину весов с силой, численно равной его весу. Одновременно, в противоположную сторону направлена сила упругости, которую формирует сжатая пружина. То есть G (вес тела) = N (сила упругости), или, если учитывать направление приложения, G = -N.
Из проведенного анализа становится ясно, что требуется найти силу реакции опоры N. Решим задачу в двух разных координатах.
Инерциальная система отсчета
Если оценивать происходящее с такой позиции, можно смело сказать, что на тело, помещенное на весы, действует всего две силы — тяжести Р и упругости N.
Учтя все силы по оси Z, можно записать равенство
N-P = m*a,
где
N — сила упругости пружины, направленная вертикально вверх,
Р — сила тяжести, действующая вниз,
m — масса тела,
а — величина ускорения, с которым движется вся система.
Искомая величина легко записывается.
N = P + m*a = m*g + m*a = m*(g+a)
Чтобы преобразовать формулу, мы использовали запись силы тяжести в виде Р = m*g, где g — ускорение свободного падения.
Решение задач по механике с учетом направления движения, как в нашем случае, требует учета знака ускорения. Оно положительное при движении вверх и отрицательно, когда тело падает или спускается. Тогда ответ на вопрос задачи будет звучать так:
- Лифт двигается вверх, показания весов равны 10 * (9,8+2) = 118 Н.
- При спуске весы покажут 10 * (9,8-2) = 78 Н.
Для инерциальной системы неважна траектория, она складывает проекции действующих сил на вертикальную ось, как в нашем случае. Лифт может двигаться по наклонному пандусу. Важна только величина ускорения по вертикали.
Неинерциальная система отсчета, привязанная к внутренней части лифта
Здесь законы Ньютона, при первом взгляде, не работают. Однако, можно учесть силу инерции F = m*a, которая будет действовать в противоположную сторону от направления движения. Тогда система придет в равновесие и можно сказать, что законы Ньютона справедливы.
На тело будут действовать три силы. Тяжести Р, реакции опоры или упругости пружины N, а также инерции F. Для изолированной неинерциальной системы, описывающей лифт, можно использовать законы статики. Тогда верно равенство
Р + N + F = 0
Составив проекции на вертикальную ось и записав равенство с учетом знаков, получим, что
N — P — F = 0
Развернув выражение и преобразовав, получим конечную формулу
N = P + F = m*g + m*a = m*(g+a)
Как видим, формула аналогична полученной для инерциальной системы. Следовательно, решение правильное и результаты будут достоверны.
Задача на передачу энергии и сохранение импульса
Рассмотрим решение задач по механике, которые используют более сложное взаимодействие тел и оперируют уровнями энергии и импульса. Условие задачи:
Молот кузнечного устройства падает на поковку, стоящую на фундаменте. Масса молота известна и составляет 200 кг, скорость в момент удара — 2 м/с. Поковка обладает массой 2500 кг. Необходимо найти:
- Кинетическую энергию молота в момент удара.
- Количество энергии, которая передалась фундаменту в результате воздействия.
Считается, что удар молота по поковке абсолютно неупругий.
Решение задачи
Первый пункт требований довольно прост. Используется формула кинетической энергии, которая выглядит как
Ек = (m*v*v)/2
где
m — масса молота,
v — скорость в момент удара.
Подставив известные из условия задачи данные, которые уже в системе СИ, получим ответ. 400 Джоулей.
Чтобы рассчитать второй пункт, требуется понимание происходящего. Молот соприкасается с поковкой. Ей передается энергия. Поскольку в условии задачи сказано, что удар неупругий, принимаем факт — движение поковки и молота становится совместным и рассматривается как единая система.
Воспользуемся законом сохранения импульса, чтобы определить, с какой скоростью стала двигаться пара молот — поковка.
m1*v1+m2*v2=(m1+m2)*u
где
m1, m2 — массы молота и поковки соответственно,
v1, v2 — их скорости в момент удара,
u — результирующая скорость всей системы.
Поскольку начальная скорость поковки равна нулю, найдем результирующую скорость как
u=(m1/(m1+m2))*v1
Дальше решение задач по механике такого рода сводятся к закону сохранения энергии. Нужно понимать, что после передачи импульса и распределения скоростей в системе происходит передача кинетической энергии фундаменту. Вычисляется она просто.
T=((m1+m2)/2)*u^2 = (m1^2*v1^2)/(2*(m1+m2)) = (m1/(m1+m2)) * (m1*v1^2)/2
В результате преобразований и подстановки исходных данных, получим ясный и четкий ответ. Фундаменту передалось 29,6 Джоулей энергии.