Решение задач по кинематике

задачи по кинематикеВ области раздела физики, который изучает движение материальных точек по криволинейной траектории, в основном изучаются процессы, называемые равноускоренными. Решение задач по кинематике включает в себя, прежде всего, методику преобразования формул в единую конечную. Если это невозможно сделать, действия производятся поэтапно, до тех пор, когда формулу в пределах одной области расчета невозможно упростить. Рассмотрим на примерах.

Пример задачи, связанной с изменением параметров физического тела

Дано: есть маховик, который вращается, частота составляет 10 оборотов в секунду. Прилагают усилия для замедления скорости вращения. В результате такого действия маховик стал вращаться с частотой 6 оборотов в секунду. Требуется найти время, в течение которого прилагалось усилие, если известно, что маховик во время торможения сделал 50 оборотов.

Решение

Задача состоит в том, чтобы определить величину углового ускорения, которое образовалось во время торможения. Таким образом, решение на первом этапе сводится к пониманию и упрощению основных формул. Сначала запишем данные, которые известны, приведя их в систему СИ.

  • начальная частота вращения n0 = 10 1/c;
  • конечная частота n = 6 1/c;
  • число оборотов N = 50.

Как видим, все параметры уже стандартизированы и не требуют преобразования.

Угловое ускорение связано с начальной и конечной угловой скоростью. Формула такова:

w=w0+2*e*µ

Здесь

w0 — начальная угловая скорость вращения, рад/с;

w — конечная скорость вращения, рад/с;

µ — общий угол поворота.

Начинаем упрощать формулу. Приводим все неизвестные величины к параметрам, которые есть по условиям задачи.

Угловая скорость связана с частотой вращения следующим образом:

w=2*П*n

Угол поворота, в свою очередь, связан с количеством оборотов, которое маховик сделал за время торможения:

µ=2*П*n

Подставив полученные выражения в формулу углового ускорения, получим итоговую формулу для вычисления:

e=(w^2-w0^2)/2 µ = П*(n^2-n0^2)/N

Здесь решение задач по кинематике сводится к анализу двух процессов. Один — снижение скорости вращения, грубо говоря, равноускоренный процесс. Второй — нахождение времени — можно рассматривать с позиции прохождения вращения с постоянной скоростью. То есть, анализировать средние показатели величин, как это делалось бы при прямолинейном движении с постоянной скоростью.

Искомое время удобно определить с помощью простой формулы, определяющей угол поворота:

µ=w/t

средняя угловая скорость вращения в пределах диапазона измерения, деленная на вычисляемое время. Так как торможение, согласно условиям задачи, производилось равномерно, можно вычислить среднюю угловую скорость простым расчетом:

w=(w+w0)/2

Тогда угол поворота можно записать следующим образом:

µ=(w+w0)*t/2

Подставив в выражение базовые формулы, приведенные выше, получим готовое выражение, основанное на известных значениях:

µ=(w+w0)*t/2 = П*(n0+n)/t

t= µ/ (П*(n0+n)) = 2*N/( n0+n)=6.25c

Такое решение задач по кинематике на основе одновременного анализа двух процессов встречается довольно часто и не представляет никаких трудностей.

Еще одна задача на криволинейное движение

Дано: автомобиль движется по дороге. Участок представляет собой сектор окружности известного радиуса, который составляет 50 м. Координата машины определяется по следующему уравнению: e = A+B*t+C*t^2, причем коэффициент А равен 10 м, В — 10 метров в секунду, ускорение С составляет -0,5 метров на секунду в квадрате. Требуется найти скорость в момент времени, равный 5 с с момента начала отсчета. А также все ускорения — полное, тангенциальное и нормальное.

Решение задачи

Все рассмотрение процесса движения рассматривается, исходя из простых базовых понятий и правил. Решение задач по кинематике такого типа сводится к элементарным преобразованиям формул и вычислениям.

По известному уравнению движения, которое приводится в условии задачи, можно найти скорость. Она будет определяться как первая производная от координаты по времени. Это простое базовое правило, применимое не только к подобным задачам. Запишем формулу, полученную простым математическим преобразованием:

v=de/dt = B+2*C

Все единицы измерения параметров находятся в системе СИ, поэтому можно просто подставить известные значения в формулу и получить готовый ответ:

v=de/dt = B+2*C = 10+2*(-0.5)*5=5м/с

Еще одно основное правило — тангенциальное ускорение представляет собой первую производную от скорости по времени. Проведем математическое преобразование ранее полученной формулы, подставим нужные значения параметров и получим готовый ответ:

at = dv/dt=2C=-1м/c^2

Формула нормального ускорения представляет собой базовую формулу кинематики.

Все параметры уже найдены и известны. Подставляем и получаем готовый ответ.

an=v^2/R = 0.5 м/c^2

Полное ускорение представляет собой сумму тангенциального и нормального ускорений. Речь идет о векторах, а не о числах, поэтому значение находится как модуль и представляет собой:

a= √at^2 + an^2

В формулу не имеет смысла подставлять ранние базовые выражения, поскольку в ходе решения задачи мы поэтапно вычисляли значения ускорений. Поэтому просто используем числа и получим ответ:

a= √at^2 + an^2=1.12м/c^2

Оценка правильности ответа может быть произведена методом соответствия величин. Все найденные значения скорости, а также ускорения — лежат в области начальных данных, соответствуют порядку величин, следовательно — достоверны.

Краткое резюме

Как видно из приведенных примеров, решение задач по кинематике всегда использует метод аналитического преобразования формул. Для упрощения, было произведено поэтапное вычисление. Так процесс выглядит нагляднее и проще для понимания. Но нужно понимать, что все формулы для нахождения нужных величин могут быть записаны в полностью самостоятельном символьном виде и применяться для подстановки в другие выражения.

Написать комментарий:

Ваш email не будет опубликован.